原码反码补码

机器数和真值

机器数

一个数在计算机中的二进制表示形式, 叫做这个数的机器数。机器数是带符号的，在计算机用一个数的最高位存放符号, 正数为0, 负数为1 。

比如，十进制中的数+3 ，计算机字长为8位，转换成二进制就是00000011。如果是 -3 ，就是 10000011 。

那么，这里的 00000011 和 10000011 就是机器数。

真值

因为第一位是符号位，所以机器数的形式值就不等于真正的数值。例如上面的有符号数 10000011，其最高位1代表负，其真正数值是 -3 而不是形式值131（10000011转换成十进制等于131）。所以，为区别起见，将带符号位的机器数对应的真正数值称为机器数的真值。

因此10000011的真值为-3。

原码反码补码

原码

原码就是符号位加上真值的绝对值, 即用第一位表示符号, 其余位表示值. 比如如果是8位二进制:

[-1]_原 = 1000 0001

[+1]_原 = 0000 0001

第一位是符号位。因为第一位是符号位, 所以8位二进制数的取值范围就是：

[1111 1111 , 0111 1111]

即

[-127, 127]

反码

反码的表示方法是：

正数的反码是其本身
负数的反码是在其原码的基础上，符号位不变，其余各个位取反：

[+1] = [00000001]_原 = [00000001]_反

[-1] = [10000001]_原 = [11111110]_反

可见如果一个反码表示的是负数, 人脑无法直观的看出来它的数值。通常要将其转换成原码再计算。

补码

补码的表示方法是：

正数的补码就是其本身
负数的补码是在其原码的基础上，符号位不变，其余各位取反，最后加1（即在反码的基础上加1）

[+1] = [00000001]_原 = [00000001]_反 = [00000001]_补

[-1] = [10000001]_原 = [11111110]_反 = [11111111]_补

为什么需要反码和补码

首先, 因为人脑可以知道第一位是符号位, 在计算的时候我们会根据符号位, 选择对真值区域的加减。但是对于计算机, 加减乘数已经是最基础的运算, 要设计的尽量简单。计算机辨别”符号位”显然会让计算机的基础电路设计变得十分复杂。于是人们想出了将符号位也参与运算的方法。

我们知道, 根据运算法则减去一个正数等于加上一个负数, 即: 1 - 1 = 1 + (-1) = 0 , 所以机器可以只有加法而没有减法, 这样计算机运算的设计就更简单了。

对于计算1-1=0，首先来看原码：

1 - 1 = 1 + (-1) = [00000001]_原 + [10000001]_原 = [10000010]_原 = -2

如果用原码来进行计算，将符号位也参与计算，显然计算结果是错误的。

因此引入了反码：

1 - 1 = 1 + (-1) = [00000001]_反 + [111111110]_反 = [11111111]_反 = -0

发现使用反码计算，结果的真值是正确的。但是也存在问题，再看下面一个例子：

0 + 0 = [00000000]_反 + [00000000]_反 = +0

对于结果0,可能会得到-0和+0两个不同的结果。

而补码的出现，解决了这个问题：

1 - 1 = [00000001]_补 + [11111111]_补 = [00000000]_补 = 0

0 + 0 = [00000000]_补 + [00000000]_补 = 0

可以看到，使用补码进行计算，将会只有一个0，而且可以用10000000来表示-128:

-1 + -127 = [11111111]_补 + [10000001]_补 = [10000000]_补

因此，对于一个8位的带符号数，如果使用补码来进行表示，则取值范围位[-128, 127]

而对于原码和反码，因为都存在两个0：

+0 = [00000000]_原 = [00000000]_反

-0 = [10000000]_原 = [11111111]_反

有效取值范围都只有[-127, 127]

使用补码，不仅解决了减法的问题，还修复了存在两个0的问题，使得负数的有效值可以多一位。

因此，计算机都是使用补码来表示正数，对于n位的整数，其有效范围为：

[-2^n-1, 2^n-1-1]

补码的本质

补码本质是用来构成一个环，以实现一个同余运算。

假设8位的整数为例，我们计算的结果最终都是2^8的余数，这与符号位没有关系，也就是需要mod 2^8，也就是当计算结果超过8位时，高位会被舍弃，就是溢出。

比如：

1 + 255 = 256 = 0

1 - 1 = 0

这其实是同余的概念：两个整数a，b，若它们除以整数m所得的余数相等，则称a，b对于模m同余，记作a ≡ b (mod m)

我们来看 255和-1：

255 mod 256 = 255

-1 mod 256 = 255

也就是 -1 ≡ 255 mod 256

在一个环中，00000000_b和11111111_b连接，当00000000_b向后走一步，就回到11111111_b了。

同余加法：

a ≡ b mod m

c ≡ d mod m

a+c ≡ b+d mod m

所以有：

1 ≡ 1 mod 256

-1 ≡ 255 mod 256

1-1 ≡ 1+255 mod 256

所以 1-1 = 1+255 = 0

对于255的二进制表示：

255 = 11111111_b

因为 -1≡255 mod 256，在8位的带符号数中，我们可以用11111111_b来表示-1，而这不正是-1的补码吗。

应用

前面讲到，计算机中使用补码存储整数，而我们可以把补码看成是一个环
因此：

1
2
3

a := uint8(2)
b := uint8(255)
a - b == 3 // 2倒退3步回到255

利用这个性质，当我们在实现环形队列时：

type RingQueue struct {
	buf        []interface{}
	head, tail uint32
	cap        uint32
}

func New(cap uint32) *RingQueue {
	return &RingQueue{
		buf: make([]interface{}, cap),
		cap: cap,
	}
}

func (r *RingQueue) Push(v interface{}) bool {
	if r.tail-r.head < r.cap {
		r.buf[r.tail%r.cap] = v
		r.tail++
		return true
	}
	return false
}

func (r *RingQueue) Size() uint32 {
	return r.tail - r.head
}

func (r *RingQueue) Cap() uint32 {
	return r.cap
}

func (r *RingQueue) Pop() (interface{}, bool) {
	if r.tail-r.head > 0 {
		v := r.buf[r.head%r.cap]
		r.head++
		return v, true
	}
	return nil, false
}

参考

原码、反码和补码详解

原码 反码 补码

机器数和真值

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真值

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原码

反码

补码

为什么需要反码和补码

补码的本质

应用

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